He considerado importante hacer una introducción general a la notación (forma de escribir los números), poner en contexto los que considero que son números grandes y hacer una brevísima introducción al fascinante mundo de las probabilidades. En el desarrollo de la primera pregunta, me veo en la necesidad de hablar de cifras muy grandes. Sé que a algunas personas no les resulta fácil comprender qué tan grande es un número grande, ni qué tan pequeño es un número pequeño. Aclarar esto es la razón de este apéndice.

Números grandes

Primero, debemos hablar de la notación científica o exponencial, que es una manera de escribir cifras grandes de un modo abreviado. Por ejemplo, podemos escribir el número cien millones de la manera convencional, es decir, 100 000 000, o, en notación científica, 1×10⁸, que se lee «uno por diez a la ocho». También podemos decir que 100 000 000 es igual a 10×10⁷ o a 100×10⁶, o 1000×10⁵, y así sucesivamente[1]. Entonces, podemos deducir que la cifra mx10^e, donde m es denominada mantisa[2] y ees denominado orden de magnitud, equivale a escribir el número m seguido de e ceros a su derecha.

Esta notación también se usa para escribir cifras pequeñas. Una millonésima de una unidad equivale a dividir la unidad en un millón de partes, o sea, equivale a 0,000001 —o lo que en notación científica sería 1×10^-6—. En este caso, el valor e indica el número de ceros a la izquierda de la mantisa.

Veamos algunos ejemplos:

500 = 5×10²

5 000 000 = 5×10⁶

92 000 000 000 000 000 000 000 000 = 9,2×10²⁵

0,001 = 1×10^-3

Ahora que hemos explicado la forma de escribir cifras extremadamente grandes o pequeñas, veamos los casos de algunos números que serían muy tediosos de escribir, leer o decir si no contáramos con esta notación.

Existe un acuerdo generalizado de la comunidad científica sobre la edad aproximada del universo: 15 000 millones de años, o 1,5×10¹⁰ años. Si 1 año tiene 365 días, 1 día tiene 24 horas, 1 hora tiene 60 minutos y 1 minuto tiene 60 segundos, ¿cuántos segundos de edad tiene nuestro universo? 15 000 000 000 x 365 x 24 x 60 x 60, que equivale a 4,7×10¹⁸ segundos. Como estoy seguro de que usted se imaginó que la edad del universo en segundos sería una cifra extremadamente grande, y lo es, podemos decir que una cifra con 18 ceros a la derecha es un número sumamente grande.

Si yo preguntara por una estimado del total de átomos que existen en el universo, ¿qué cifra se imaginaría? Seguramente no sería fácil dar un número determinado. Pero estoy seguro de que pensaría que tiene que ser el número más grande que se pueda imaginar. Según la revista digital Universe Today[3], hay aproximadamente 1×10⁸⁶ átomos en todo el universo[4]. Es claro entonces que una cifra con 86 ceros a la derecha definitivamente representa una cantidad extremadamente grande.

Entremos ahora brevemente al mundo de las probabilidades. Hay básicamente dos clases: simples y compuestas. Ejemplos de probabilidades simples: la probabilidad de ganarse la lotería, la probabilidad de sacar cara al lanzar una moneda al aire, la probabilidad de extraer un chocolate rojo de una bolsa de m&m’s. Ejemplos de probabilidades compuestas: la probabilidad de sacar cara dos veces seguidas al lanzar una moneda, la probabilidad de sacar cuatro cartas al azar de una baraja inglesa y que resulten ser los cuatro ases.

Existen varias formas de expresar el grado de certeza que tenemos de que un determinado evento suceda, es decir, la probabilidad de que ocurra. Una de las más comunes es expresar ese grado de certeza en términos de un porcentaje entre cero y cien, como cuando se dice que hay 80 % de probabilidad de que llueva mañana. Una segunda forma es expresar el número de posibilidades que hay en contra, como cuando se dicen que la probabilidad de ganar una determinada lotería es de 1 entre 200 000 000 y la probabilidad de ganar otra es de 1 entre 100.

Si una probabilidad se acerca al 0 %, quiere decir que el evento es muy improbable. Por otra parte, una que se acerque al 100 %, quiere decir que es un evento que seguramente ocurrirá. Un ejemplo: en la lotería Lotto de la Florida hay que acertar seis números de cincuenta y tres. La probabilidad de ganarse el premio mayor es entonces de 1 entre 22 957 480, lo que es igual a 4,35×10^-6 % (0,00000435 %). Claramente, es una posibilidad muy baja, por eso es muy difícil ganársela. Otro ejemplo: los meteorólogos nos hablan diariamente de la probabilidad de que llueva el día siguiente. Nos dicen que habrá un 80 % de posibilidad de lluvia, lo que significa básicamente que debemos salir de la casa con paraguas porque es casi seguro que va a llover. Pero si dicen que habrá un 5 % de posibilidad de lluvia, eso significa que el día será seco.

Matemáticamente, una probabilidad simple está definida por la siguiente fórmula: número de casos favorables dividido entre número de casos posibles. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta al azar de una baraja inglesa resulte ser el diez de corazones? La baraja inglesa tiene cincuenta y dos cartas. Está compuesta por cuatro palos: corazón, diamante, trébol y picas. Cada palo tiene trece cartas (desde el as hasta el diez, más la j, la q y finalmente la k). Como la baraja tiene solamente un diez de corazones, la probabilidad de encontrarlo al azar es de 1 entre 52 (1/52 = 0,02). Uno, porque solo es favorable un caso: el diez de diamantes; y cincuenta y dos, porque es el total de cartas que hay en la baraja. Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar una carta al azar resulte ser un as de cualquier palo? En este caso, la probabilidad sería de 4 entre 52 (4/52 = 0,08). Cuatro, porque hay cuatro ases y cualquiera de ellos es favorable; y nuevamente cincuenta y dos porque es el total de cartas de la baraja. Otras formas de expresar esta probabilidad son diciendo «4 de 52» o «4:52». Si divido en 4 a ambos lados (para simplificar la fórmula), queda 1 entre 13, o 1:13, o 7,69 %.

La probabilidad compuesta está definida por la multiplicación de las probabilidades de los eventos individuales. ¿Cuál es la probabilidad de que saque al azar cuatro cartas de una baraja inglesa y resulten ser los cuatro ases? Al comenzar el ejercicio tengo todas las 52 cartas, así que la probabilidad de que la primera carta que saque sea un as es de 1 en 52 o 1,92 %. Como ya saqué una carta, la probabilidad para el segundo as es de 1 en 51 o 1,96 %; la del tercer as es 1 en 50, o 2 %, y la del cuarto es de 1 en 49, o 2,04 %. Así que la probabilidad de que al sacar al azar cuatro cartas de una baraja inglesa resulten ser los cuatro ases es de 0,0192 x 0,0196 x 0,02 x 0,0204 = 0,000000153 = 0,0000153 %, o 1,53×10^-5 %, 0 1 en 6 535 948. ¿Qué significa este número? Que es muy difícil sacar los cuatro ases seguidos al azar. Tenemos 6 535 948 oportunidades de fallar y solo una de acertar. ¿Cree usted muy factible sacar los cuatro ases al primer intento? ¿Cierto que no? ¿Y qué tal al segundo? ¿O al tercero? Las cartas no tienen memoria, así que con cada nuevo intento de sacar los cuatro ases existe la misma probabilidad, sin importar que usted lleve diez millones de intentos y no lo haya logrado. Incluso si usted invita a 6 535 948 personas, le da a cada una baraja y les pide que, al sonar la campana, todas saquen cuatro cartas al azar, es posible que nadie saque los cuatro ases. Todas esas personas tienen la misma baja probabilidad de que eso suceda.

Siendo claro que es bastante improbable sacar al primer intento los cuatro ases seguidos, ya que tiene en su contra 6,5×10⁶ casos, ¿qué decir de un evento que tiene 1×10³⁶⁸ casos en contra y solo 1 a favor? Si se produce el evento esperado al primer intento, teniendo 1×10³⁶⁸ casos en su contra, ¿sería muy pretensioso llamar a esto un milagro?, ¿no sería esta una definición matemática y probabilística de lo que es un milagro?

[1] Realmente estas cifras no serían correctas, ya que el propósito de esta notación es escribir los números de la manera más abreviada posible. Sin embargo, he usado estas cifras para ayudar a comprender la metodología de la notación.

[2] La mantisa debe ser cualquier número mayor o igual a uno y menor que diez.

[3] Ver www.universetoday.com

[4] Según la misma revista, el total de galaxias que existe en el universo observable es aproximadamente 3×10¹¹. Cada una tiene un promedio de 4×10¹¹ estrellas. Podemos decir entonces que hay aproximadamente un total de 1,2×10²³ estrellas. En promedio, una estrella pesa 1×10³⁵ gramos, así que todas ellas pesan 1×10⁵⁸ gramos (1×10⁵² toneladas). Un gramo de masa de hidrógeno tiene 1×10²⁴átomos. Multiplicando estas dos últimas cifras, obtenemos el total de átomos en el universo: 1×10⁸⁶. Como puede darse cuenta, en este cálculo no se incluyen otros cuerpos celestes, tales como planetas, lunas, cometas, etc., ya que, si se hiciese, la cifra resultante cambiaría muy poco. Esto se debe a que la masa de todos ellos resulta despreciable frente a la de una estrella. Por ejemplo, en nuestro sistema solar, el sol representa el 99,98 % del total de la masa del sistema solar. El restante, 0,02 %, es el total de las masas juntas de todos los planetas, sus respectivas lunas, meteoritos, cometas, etc.